Neste curso sobre valores próprios (va.p) e vetores próprios (ve.p.) damos especial atenção às várias aplicações deste conceito fundamental de Álgebra Linear na ciência e engenharia. Começamos por analisar o seu papel nas transformações geométricas, para depois os vermos a explicar a evolução de sistemas dinâmicos que incluem modelos predador-presa e modelos de sobrevivência de uma espécie. Também abordamos alguns modelos simples de mecânica clássica e quântica que usam a linguagem dos va.p. e ve.p. A descrição de uma aplicação moderna do processamento de imagens digitais vai permitir abordar o tópico recente dos valores singulares. A decomposição em valores singulares é um tópico, que apesar de não ser geralmente contemplado nos programas curriculares de uma primeira disciplina de Álgebra Linear, tem muito interesse nas aplicações e revela propriedades algébricas e geométricas fundamentais das matrizes e respetivas transformações lineares.
Do ponto de vista matemático, a abordagem dos va.p. e ve.p. neste curso inclui, para além da descrição do procedimento clássico para os calcular, as questões da diagonalização e diagonalização ortogonal de matrizes e a análise do teorema espetral. Mostramos, ainda, alguns resultados sobre aproximações para va.p. e ve.p. quando as matrizes são de grandes dimensões. No caso de matrizes retangulares, introduzimos o conceito de valores singulares que são uma extensão natural das boas propriedades das matrizes simétricas definidas positivas, chamando a atenção para o seu interesse para qualquer matriz diagonalizável, ou não diagonalizável.
Objetivos de aprendizagem
No final deste curso, os participantes deverão estar aptos a:
calcular manualmente va.p. e ve.p. próprios para matrizes 2x2 e 3x3;
calcular, com recurso a software, va.p. e ve.p. próprios para matrizes mais complicadas;
interpretar o significado dos va.p e ve.p. no contexto de transformações lineares, sistemas dinâmicos e formas quadráticas;
diagonalizar matrizes, classificar formas quadráticas e usar a decomposição espetral em algumas aplicações;
aplicar o método numérico da potência para o cálculo aproximado de va.p. e ve.p. dominantes.
Público-alvo
Este curso destina-se preferencialmente a alunos do ensino superior (cursos científicos, técnicos ou de engenharia) e a profissionais que trabalham nas áreas da ciência e tecnologia.
Pré-requisitos
Ao nível de conhecimentos em matemática:
familiaridade com alguns conceitos básicos de Álgebra Linear: operações matriciais, determinantes, independência linear e bases ortonormais;
saber encontrar raízes de polinómios e soluções de equações diferenciais simples;
manipular algebricamente números complexos.
Ao nível de software de cálculo numérico e simbólico:
saber usar um software adequado, como por exemplo o Mathematica, MATLAB ou Maple.
Conteúdos
Os conceitos a abordar são:
va.p. e ve.p. de transformações lineares;
raízes do polinómio característico;
matrizes reais com valores próprios complexos;
descrição do comportamento de sistemas dinâmicos (discretos e contínuos);
trajetórias no espaço de fase;
diagonalização e diagonalização ortogonal de matrizes simétricas;
eixos principais e formas quadráticas;
va.p. e ve.p. dominantes;
método iterativo para cálculo aproximado de va.p. e ve.p.;
decomposição espetral e em valores singulares;
aplicação a um modelo quântico simples.
Organização e duração
O curso encontra-se organizado em 4 tópicos que correspondem a 4 semanas de trabalho. Antes de se iniciarem os tópicos com os conteúdos práticos do curso, existe uma breve introdução onde se apresenta uma nota histórica sobre o tópico dos va.p. e ve.p. e as suas aplicações mais importantes em ciência e engenharia. Esta introdução inclui um teste diagnóstico que não é contabilizado para a avaliação final do curso.
Cada tópico de conteúdo inclui vídeos de exposição dos conceitos e dos cálculos a realizar e ainda links para simulações interativas que serão disponibilizadas para uso próprio de cada um dos participantes com o objetivo de facilitar uma prática autónoma. No final de alguns vídeos existem questões de auto-avaliação que pretendem incentivar a discussão da resolução de problemas e espera-se que os(as) participantes tragam as suas dúvidas e comentários para os fóruns de discussão disponíveis para o efeito.
No final de cada tópico existem momentos de avaliação com ponderações distintas. Os prazos de resposta aos testes são de, no mínimo, duas semanas. O certificado que acompanha os 60% ou mais de sucesso no curso ficará disponível no final.
Em alguns casos, disponibilizam-se documentos escritos que auxiliam a compreensão de conteúdos auxiliares e complementares de algumas matérias.
No final de cada tópico semanal existe uma avaliação sumativa. Cada teste contabiliza 25% para a nota final do curso.
Os participantes que concluírem 60% (ou mais) das atividades de avaliação com sucesso, no final do curso poderão obter um certificado de participação (sem classificação atribuída).
Tutores
Ana Moura Santos
Licenciada em Física-Matemática na Universidade de Moscovo, é mestre (1995) e doutora (1999) em Matemática Aplicada pelo Técnico, onde começou a lecionar em 1987 - primeiro no Departamento de Física e, desde 1993, no Departamento de Matemática.
Desenvolve investigação na área da Teoria de Operadores e Análise Funcional com aplicações a Física-Matemática, e também tem desenvolvido trabalho em questões de ordem pedagógica, nomeadamente em projetos de e-learning na área da Matemática.
Passa a maior parte do seu tempo livre em atividades relacionadas com dança, praticando atualmente sevilhanas e flamenco.
Bibliografia recomendada
D.C. Lay, S.R. Lay & J.J. McDonald (2016). Linear Algebra and Its Applications (4th Edition). Global Edition. Pearson
Strang G. (2013). Introdução à Álgebra Linear (4ª edição). Rio de Janeiro: LTC
Os vídeos integrados neste curso foram gravados no estúdio da FCCN
About this course
In this course about eigenvalues we pay special attention to several applications of this Linear Algebra concept to science and technology. We look at its crucial role in dynamical systems, which include prey-predator models and survival models of a species, in classical and quantic mechanic problems, as well as treatment of data in image processing.
Besides a classical treatment of the topic, which includes the Fundamental Theorem of Algebra and the diagonalization of matrices, one of the goals of the course is to explain, based on numerical methods, how to obtain good approximations to eigenvalues and eigenvectors for large matrices.
Main goals
At the end of this course, participants will be able to:
Calculate by hand (for 2x2 and 3x3 matrices);
Calculate with the help of software the eigenvalues and eigenvectors of larger square matrices;
Interpret the meaning of eigenvalues and eigenvectors in the context of linear transformations, dynamical systems and quadratic forms;
Diagonalize matrices and use of the spectral decomposition, and the decomposition in singular values;
Apply the power method to calculate dominant eigenvalues and eigenvalues.
Target audience
This course is aimed mainly at an audience of Higher Education students (STEM courses), and professionals working within Science and Technology areas.
Prerequisites
In what concerns mathematical background:
We assume that you are familiar with several Linear Algebra basic concepts: linear independent sets, orthogonal basis, matrix operations and determinants, linear transformations;
To be able to find roots of polynomials and solutions of basic differential equations;
The knowledge of basic algebraic operations with complex numbers.
In what concerns numerical and symbolic software:
The use of adequate software is recommended, for instance, Mathematica software, MATLAB or Maple.
You can test your level of prior knowledge with the diagnostic test of week zero.
Contents
The concepts to address are:
Eigenvalues and eigenvectors of linear transformations;
Roots of the characteristic polynomial;
Real matrices with complex eigenvalues;
Description of the behaviour of dynamic systems (discrete and continuous);
Dynamic system's trajectories;
Matrix diagonalization and diagonalization of symmetric matrices;
Principal axis and quadratic forms;
Iterative methods to calculate eigenvalues and eigenvectors;
Spectral decomposition and singular value decomposition;
Application to a simple quantic model.
Planning and Duration
The course runs for 4 weeks/4 topics, preceded by a short introduction to the course and an historical video about A.A. Markov.
Each weekly topic includes expository videos with theoretical contents and corresponding calculations, with or without help of numerical computations. In several videos we make use of interactive simulations that would be afterwards available to download in order to facilitate a free personalized interaction.
In the discussion forums after each video and within each topic it will be possible to ask questions and make comments about the given concepts and the involved procedures. The course team (professor/tutor and teaching assistant) will moderate at least the discussion forum each 2 days. Sometimes there will be handouts that support the video contents with complementary explanations.
Assessment methods
At the end of each weekly topic there will be evaluation moments (multiple choice problems, check boxes, numerical input, etc.). Each test accounts for 25% of the final grade.
Participants with a final score equal or greater than 60% will receive a completion certificate (without reference of the final grade).
Course Staff
Ana Moura Santos
Received her diploma in Physics-Mathematics Sciences from the University of Moscow, and the MSc and PhD degrees in Applied Mathematics from Técnico, where she started teaching in 1987, first at the Department of Physics and, from 1993 on, at the department of Mathematics.
The area of her research is Operator Theory and Functional Analysis with applications, and also works on pedagogical issues, namely developing e-learning resources for projects in Mathematics.
She spends most of her free time in activities related to dance, presently practicing sevillanas and flamenco.
