Descrição do curso
Neste curso sobre problemas de paragem ótima, apresenta-se uma das metodologias mais usuais para resolver este tipo de problemas, com particular ênfase em aplicações financeiras como, por exemplo, opções americanas e opções de investimento, recorrendo às equações de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB).
Os problemas de paragem ótima são problemas de fronteira livre, pelo que é necessário invocar teoremas de verificação para provar que uma solução de HJB é a solução do problema de otimização.
Este procedimento é ilustrado com um problema concreto, no qual se resolve a questão de determinação do instante em que uma empresa deve investir num mercado, de forma a maximizar o seu valor.
Público-alvo
Este curso é aconselhado a alunos de mestrado com interesse em aplicações financeiras ou em aplicações de equações diferenciais e problemas de fronteira livre.
Objetivos de aprendizagem
No final deste curso os participantes estarão aptos a:
- resolver problemas de paragem com custo terminal (como é o exemplo de opções de investimento e opções americanas);
- utilizar ferramentas para entender como se resolvem problemas de paragem com custo integral (como é o exemplo de opções de investimento);
- trabalhar, com sucesso, os problemas de otimização estocástica.
Pré-requisitos
Pressupõe-se que os participantes tenham conhecimentos ao nível de probabilidades e familiaridade com cálculo estocástico básico, em particular com as propriedades do movimento browniano e com a fórmula de Itô.
Conteúdos
No curso serão abordados os seguintes assuntos:
- Definição da função valor;
- Revisões de cálculo estocástico, nomeadamente: movimento browniano, tempos de paragem, fórmula de Itô;
- Equações HJB;
- Teorema da Verificação;
- Análise de sensibilidade.
Organização e duração
O curso está organizado em 5 tópicos, um deles introdutório, e terá a duração de 4 semanas. Ao longo de cada tópico serão disponibilizados vídeos para ilustrar os conteúdos do curso e são propostos exercícios de trabalho individual de modo a que cada participante tenha a possibilidade de consolidar os conhecimentos adquiridos.
A participação neste curso é a nível individual e, nesse sentido, pretende-se que todos os participantes contribuam nos fóruns de discussão disponíveis para o efeito.
Modalidades de avaliação
As avaliações incluem questões organizadas em testes. Cada teste semanal contribui com 25% para a nota final do curso. Todos os participantes que tenham uma pontuação igual ou superior a 60% dos exercícios de avaliação, receberão um certificado de participação no curso (sem classificação atribuída).
Cláudia Nunes
Licenciada em Matemática Aplicada e Computação, é mestre (1995) em Matemática Aplicada e Doutora (2003) em Matemática pelo Técnico, onde começou a lecionar em 1990 no Departamento de Matemática. É investigadora no Centro de Matemática Computacional e Estocástica (CEMAT).
Os seus interesses de investigação cobrem Processos Estocásticos e Problemas de Paragem Óptima. Tem orientado várias teses de doutoramento e mestrado e tem tido colaborações com outras universidades estrangeiras (University of Texas, Austin; Carnegie Mellon University; Tilburg University; Norwegian University of Science and Technology), a nível de projetos de investigação. É atualmente Presidente do Comité Educacional do ECMI (European Consortium for Mathematics in Industry).
General description
This course address problems of optimal stopping, presenting one of the most used methodology: the so-called Hamilton-Jacobi-Bellman equations (HJB, for short). We focus, especially, in some financial applications like, for example, finance options and real options.
Optimal stopping problems are free-boundary problems, and thus one needs to invoke a verification theorem to prove that a solution of the HJB equation is also solution of the optimisation problem.
We use the mathematics presented along the course to solve the problem of derivation of the optimal time for a firm to invest in a new project or market, in the sense that the firm maximizes its value.
Target audience
The target audience for this course is master students with interest in financial applications and/or applications of differential equations and free boundary problems.
Main goals
At the end of this course the participants will be able to:
- solve optimal stopping problems with terminal costs (like the example of investment problems and american options);
- use tools to solve other optimal stopping problems involving integral profits (like the exit problem);
- work, with success, the stochastic optimisation problems.
Prerequisites
It is assumed that the participants have knowledge of probabilities and familiarity with basic stochastic calculus, in particular with brownian motion properties and Itô's formula.
Contents
The course will cover the following subjects:
- Definition of the value function;
- Some stochastic calculus concepts (like Brownian motion, stopping times, Itô's formula);
- HJB equations;
- Verification theorem;
- Comparative statics.
Pedagogical strategies
The course is organized in 5 topics, one of them introductory, and will last for 4 weeks. Throughout each topic, videos will be made available to illustrate the contents of the course and individual work exercises are proposed so that each participant has the possibility to consolidate the knowledge acquired.
The participation in this course is at the individual level and, in this sense, it is intended that all participants contribute to the discussion forums available.
Assessment methods
The assessment is made through quizzes/tests. Each weekly test will contribute 25% to the final grade. Participants with a final score (points) greater than 60% will receive a completion certificate (without grade).
Tutores
Cláudia Nunes
Degree in Applied Mathematics and Computation, master degree (1995) in Applied Mathematics and PhD (2003) in Mathematics by Técnico, where she started teaching in 1990 at the Mathematics Department. She is also researcher of CEMAT.
Her research interests are in Stochastic Processes, and in Optimal Stopping Problems. She has been supervising several PhD and master thesis, and has many collaborations with foreign universities (University of Texas, Austin - UTA; Carnegie Mellon University - CMU; Tilburg University - TU; Norwegian University of Science and Technology- NTNU), within joint research projects. She is currently the Chair of the Educational Committee of ECMI (European Consortium for Mathematics in Industry).
